4. Analog-Modell im Atlantik

Als Grundlage dieser Arbeit dient ein sogenanntes "selbstadaptierendes Analogmodell", wie Fraedrich und Rückert (1998) es beschreiben. In diesem Kapitel wird zunächst eine grundlegende Beschreibung der Funktionsweise des Programmpaketes gegeben. Wie im folgenden dargestellt wird, definieren mehrere Parameter und Daten das endgültige Vorhersageprogramm. Diese werden im weiteren Verlauf des Kapitels beschrieben, gefolgt von Ergebnissen des Modells für das atlantische Bassin.

4.1. Allgemeines zu Analog-Modellen

Analog-Modelle beruhen auf der Annahme, daß gleiche (bzw. ähnliche) Anfangszustände auch gleiche (bzw. ähnliche) zeitliche Entwicklungen durchlaufen. Hat das betrachtete System zum Zeitpunkt t den Zustand x(t), so wird in einer Bibliothek, die zum Beispiel aus den vergangenen Zuständen bestehen kann, nach gleichen oder "analogen" Zuständen x() gesucht und die zeitliche Entwicklung gleichgesetzt:

(9)

In natürlichen Datensätzen wird ein exakt gleicher Zustand nicht unbedingt zu finden sein, so daß die Bedingung in die Bedingung übergeht:

(10)

Es bleibt zu definieren, was "ungefähr gleich" für einen physikalischen Zustand bedeutet. Hier finden sich mehrere Möglichkeiten. Eine koeffizientenweise Definition, wie sie bei HURRAN (siehe Kapitel 3.2) benutzt wird, könnte wie folgt aussehen: "Wenn Referenz und Analogon in der ersten Komponente um nicht mehr als voneinander abweichen, in der zweiten um nicht mehr als , ..., dann nenne x(t) und analog." Je nach Auswahl der gewünschten Kriterien und des Datensatzes wird es so Fälle geben, in denen keine Analoga gefunden werden. Bei HURRAN beispielsweise existieren zu jedem dritten Referenzzustand weniger als 5 Analoga. Zu beachten ist, daß diese Definition einer Ähnlichkeit keine Aussage über die Qualität des gefundenen Analogons macht. Hierfür muß eine Metrik d(x(t),x()) definiert werden, im einfachsten Fall der quadratische euklidische Abstand:

(11)

Da die Komponenten nicht alle die gleiche Wichtigkeit für die Vorhersage haben müssen, führt man einen Koeffizientenvektor G ein, der die einzelnen Komponenten verschieden stark gewichtet:

(12)

In einer weiteren Verallgemeinerung wird nicht der komponentenweise gewichtete quadratische Fehler summiert, sondern eine beliebige Funktion (x). Damit ergibt sich als Metrik

(13)

Die Funktion (r) muß gewährleisten, daß die Metrik d(x(t),x()) positiv definit ist. In (12) ist (r) definiert als

(14)

Aus Stabilitätsgründen wird folgendes (r) verwendet:

(15)

Die Erläuterung hierzu findet sich in Kapitel 4.3.

Die Komponenten x_i des Zustandes müssen die gleiche Dimension haben, damit sie addiert werden können. Ist x ein Punkt im (physikalischen) Phasenraum, in dem die Komponenten unterschiedliche Einheiten haben können, so sind diese zuvor anzugleichen. In der vorliegenden Arbeit wird dies durch eine Normierung mit dem "Klima" jeder Komponente i erreicht:

(16)

wobei x den vom Programm genutzten Zustand sowie Z den Meßwert mit Mittelwert und Standardabweichung (Z) darstellt.